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4-4第四节 数系的扩充与复数的引入练习题(2015年高考总复习)_数学_高中教育_教育专区

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4-4第四节 数系的扩充与复数的引入练习题(2015年高考总复习)_数学_高中教育_教育专区。第四节 数系的扩充与复数的引入 时间:45 分钟 分值: 75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2014· 泉州质检)若复数 z=1+i, z 为 z 的共轭


第四节 数系的扩充与复数的引入 时间:45 分钟 分值: 75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2014· 泉州质检)若复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数,则下列 结论正确的是( A. z =-1-i C.| z |=2 解析 ) B. z =-1+i D.| z |= 2 z = 1- i, | z |= 1+ 1= 2.选 D. 答案 D a+3i 2.若复数 (a∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值 1+2i 为( ) A.-2 C.-6 解析 ∵ B.4 D.6 a+ 3i ?a+ 3i?? 1- 2i? a+ 6 3- 2a = = + i, 5 5 1+ 2i ?1+ 2i?? 1- 2i? a+ 3i a+ 6 3- 2a 是纯虚数,∴ =0 且 ≠0, 5 5 1+ 2i ∴a=- 6. 答案 C 3.已知复数 z1=1- 3i,z2=2 3-2i,则 z 1· z 2 等于( A.8 C.8i B.-8 D.-8i ) 解析 ∵ z 1= 1+ 3i, z 2= 2 3+ 2i, ∴ z 1· z 2= (1+ 3i)(2 3+ 2i)= 2 3+ 2 3i2+ 6i+ 2i= 8i. 1 答案 C 4. (2013· 新课标全国卷Ⅱ)设复数 z 满足(1-i)z=2i, 则 z=( A.-1+i C.1+i 解析 由题意得 z= 答案 A 5.(2013· 山东卷)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为( A.2+i C.5+i ) B.2-i D.5-i B.-1-i D.1-i 2i?1+ i? 2i = =- 1+ i,故选 A. 1- i ?1- i??1+ i? ) 5?2+ i? 5 解析 由 (z- 3)(2- i)= 5 得 z= + 3= + 3= 5+ i, 2- i ?2- i??2+ i? z = 5- i,故选 D. 答案 D 6. (2013· 陕西卷)设 z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是( A.若|z1-z2 |=0,则 z 1= z 2 B.若 z1= z 2,则 z 1=z2 C.若|z1|=|z2 |,则 z1·z 1=z2·z 2 2 D.若|z1 |=|z2 |,则 z2 1=z2 ) 解析 |z1- z2|= 0 得 z1= z2,必有 z 1= z 2,故 A 正确.z1= z 2, 令 z1=a+bi, 则 z 2=a+bi, 则 z2=a-bi, 而 z 1=a-bi, 故有 z2= z 1,故 2 2 B 正确.由 |z1|= |z2|,令 z1=a1+b1i,z2= a2+b2i 得 a2 1+b1=a2+ 2 2 2 2 b2 2,此时 z 1= a 1-b 1i, z 2= a 2-b 2i,则 z1 z 1= a1+b1,z2 z 2=a2+b2, 2 所以有 z 1z1= z2 z 2,故 C 正确,故选 D. 答案 D 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2014· 深圳模拟)若复数(a+i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负 半轴上,则实数 a 的值是________ . 解析 (a+ i)2= a2- 1+ 2ai,由题意知 a2- 1= 0 且 2a<0,即 a= - 1. 答案 -1 8.已知 i 是虚数单位,则 i+i2+ i3+…+i2 013=________. 解析 ∵ in+ in+ 1+ in+ 2+ in+ 3= 0, ∴ i+ i2+ i3+ …+ i2 013= i. 答案 i 9. (2013· 重庆卷 ) 已知复数 z = ________. 解析 ∵ z= = 5i?1- 2i? 5i = 1+ 2i ?1+ 2i?? 1- 2i? 5i (i 是 虚数单位 ) ,则 |z |= 1+2i 10+ 5i = 2+ i,∴ |z|= 5. 5 5 答案 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 3 2 10.复数 z1= +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 a+5 1-a 是实数,求实数 a 的值. 解 3 2 z 1+ z2= + (a2- 10)i+ + (2a- 5)i a+ 5 1-a 3 =? = ? 3 2 ? + ? + [(a 2- 10)+ (2a- 5)]i ? a+ 5 1-a? a- 13 + (a2+ 2a- 15)i. ?a+ 5??a- 1? ∵ z1 + z2 是实数, ∴a2+ 2a- 15= 0.解得 a=-5 或 a= 3. ∵分母 a+5≠0,∴a≠- 5,故 a= 3. 11.复数 z1=1+2i,z2=-2+ i,z3=-1-2i,它们在复平面上 的对应点是一个正方形的三个顶点, 求这个正方形的第四个顶点对应 的复数. 解 如图, z1, z2, z3 分别对应点 A,B,C. → → → ∴AB=OB-OA. → ∴AB所对应的复数为 z2- z1= (- 2+ i)- (1+ 2i)=- 3- i. → → 在正方形 ABCD 中,DC=AB, → ∴DC所对应的复数为-3- i. → → → 又DC=OC-OD, → → → ∴OD=OC-DC所对应的复数为 z3- (- 3- i)= (- 1- 2i)- (- 3 4 - i)= 2- i, ∴第四个顶点对应的复数为 2- i. 12.设复数 z=-3cos θ+2isinθ. 4 (1)当 θ= π 时,求|z|的值; 3 θ 2cos 2 -1 2 (2)若复数 z 所对应的点在直线 x+3y=0 上, 求 的值. ? π? 2sin?θ+ ? ? 4? 4 解 (1)∵ θ= π, 3 4 4 3 ∴ z=- 3cos π+ 2isin π= - 3i. 3 3 2 ∴ |z|= ?3 ?2 21 ? ? + ?- 3 ?2 = . ?2 ? 2 1 (2)由条件得-3cos θ+ 3×2sinθ= 0,∴ tanθ= . 2 cos θ 1 2 原式= = = . sinθ+ cos θ tanθ+ 1 3 5
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