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高考数学二轮复习专题八数学思想方法第1讲函数与方程思想数形结合思想课件理_高考_高中教育_教育专区

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高考数学二轮复习专题八数学思想方法第1讲函数与方程思想数形结合思想课件理_高考_高中教育_教育专区。第1讲 函数与方程思想、数形结合思想 高考定位 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函 数、数列、解析几何等知识进行考查;数形结合思想一般在 选择题、填空题中考查. 真题感悟 1.函数与方


第1讲 函数与方程思想、数形结合思想 高考定位 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函 数、数列、解析几何等知识进行考查;数形结合思想一般在 选择题、填空题中考查. 真题感悟 1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的 数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函 数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问 题获得解决的思想方法. (2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立 方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运 用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法. 2.函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时, 就转化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决 有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函 数的观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解 决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. 3.数形结合是一种数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅 形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:①借助形 的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段, 数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质; ②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性, 即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确 地阐明曲线的几何性质. 4.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第 一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数 特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分 析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系, 由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参 数的取值范围.数学中的知识,有的本身就可以看作是数 形的结合. 热点一 函数与方程思想的应用 [微题型1] 不等式问题中的函数(方程)法 【例1-1】 (1)f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1],总有f(x)≥0 成立,则a=________. (2)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x) <0的解集是________. 解析 (1)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立; 当 x>0 即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥x32-x13.设 g(x)=x32-x13,则 g′(x)=3(1-x4 2x), 所以 g(x)在区间???0,12???上单调递增, 在区间???12,1???上单调递减, 因此 g(x)max=g???12???=4,从而 a≥4.当 x<0 即 x∈[-1,0)时, f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≤x32-x13,设 g(x)=x32-x13, 且g(x)在区间[-1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4, 从而a≤4,综上a=4. (2)设F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,得F(-x)=f(-x)·g(-x)= -f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数. 又当x<0时,F′(x)=f′(x)·g(x)+f(x)g′(x)>0, 所以x<0时,F(x)为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以x>0时, F(x)也是增函数. 因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3). 所以,由图可知F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3). 答案 (1)4 (2)(-∞,-3)∪(0,3) 探究提高 (1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方 法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题; (2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立,一般可转化为f(x)min>0或 f(x)max<0;已知恒成立求参数范围可先分离参数,然后利 用函数值域求解. [微题型2] 数列问题的函数(方程)法 【例 1-2】 已知数列{an}满足 a1=3,an+1=an+p·3n(n∈N*,p 为常数),a1,a2+6,a3 成等差数列. (1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn=na2n,证明:bn≤49. (1)解 由a1=3,an+1=an+p·3n, 得a2=3+3p,a3=a2+9p=3+12p. 因为a1,a2+6,a3成等差数列, 所以a1+a3=2(a2+6), 即3+3+12p=2(3+3p+6), 得 p=2,依题意知,an+1=an+2×3n. 当 n≥2 时,a2-a1=2×31, a3-a2=2×32,…, an-an-1=2×3n-1. 将以上式子相加得 an-a1=2(31+32+…+3n-1), 所以 an-a1=2×3×(11--33n-1)=3n-3, 所以 an=3n(n≥2). 又 a1=3 符合上式,故 an=3n. (2)证明 因为 an=3n,所以 bn=n32n. 所以 bn+1-bn=(n3+n+11)2-n32n=-2n23+n+21n+1(n∈N*), 若-2n2+2n+1<0,则 n>1+2 3, 即当 n≥2 时,有 bn+1<bn, 又因为 b1=13,b2=49,故 bn≤49. 探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类 型: (1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调 性或不等式求解. (2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不 等式组?????aann-≥1≤ana+n1,,?????aann-≤1≥ana+n1,求解. (3)数列中前 n 项和的最值:转化为二次函数,借助二次函数 的单调性或求使 an≥0(an≤0)成立时最大的 n 值即可求解. [微题型3] 解析几何问题的方程(函数)法 【例1-3】 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是 它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭 圆相交于E、F两点. (1)若E→D=6D→F,求 k 的值; (2)求四边形 AEBF 面积的最大值. 解 (1)依题意得椭圆的方程为x42+y2=1,直线 AB, EF 的方程分别为 x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设 D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中 x1<x2,且 x1 , x2 满 足 方 程 (1 + 4k2)x2 = 4 , 故 x2 = - x1 = 1+2 4k2.① 由E→D=6D→F知 x0-x1=6(x2-x0),得 x0=17(6x2+x1)=57x2= 7 11+0 4k2;由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2, 得 x0=1+22k.所以1+22k=7 11+0 4k2, 化简得 24k2-25k+6=0, 解得 k=23或 k=38. (2)根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离 分别为 h1=|x1+2k5x1-2|=2(1+5(2k+1+41k+2)4k2), h2=|x2+2k5x2-2|=2(1+5(2k-1+41k+2)4k2). 又|AB|= 22+12= 5, 所以四边形 AEBF 的面积为 S=12|AB|(h1+h2) =12· 5·45((11++24kk)2)=2(11++42kk2) =2 1+1+4k24+k24k≤2 2, 当 4k2=1(k>0),即当 k=12时,上式取等号.所以 S 的最大值 为 2 2.即四边形 AEBF 面积的最大值为 2 2. 探究提高 解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线 的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深 刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表 示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探 求来使问题得以解决. 热点二 数形结合思想的应用 [微题型1] 利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点 【例2-1】 (1)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b 的取值范围是________. (2)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x)= g(x)-f(x)在???-12,32???上的零点个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 (1)由f(x)=|2x-2|-b有两个零点, 可得|2x-2|=b有两个不等的实根, 从而可得函数y=|2x-2|的图象与函数y=b的图象有两个交 点,如图所示. 结合函数的图象,可得0<b<2,故填(0,2). (2)根据题意,函数 y=f(x)是周期为 2 的偶函数且 0≤x≤1 时, f(x)=x3,则当-1≤x≤0 时,f(x)=-x3,且 g(x)=|xcos(πx)|, 所以当 x=0 时,f(x)=g(x). 当 x≠0 时,若 0<x≤12, 则 x3=xcos(πx), 即 x2=cos πx. 再根据函数性质画出???-12,32???上的图象,在同一个坐标系中作 出所得关系式等号两边函数的图象,如图所示,有 5 个根.所以 总共有 6 个. 答案 (1)(0,2) (2)B 探究提高 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、 根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重 要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作 是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化 为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的 图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数. [微题型2] 利用数形结合思想解不等式或求参数范围 【例 2-2】(1)若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b], 且 b-a=2,则 k=________. (2)若不等式|x-2a|≥12x+a-1 对 x∈R 恒成立,则 a 的取 值范围是________. 解析 (1)如图,分别作出直线 y=k(x+2)- 2 与半圆 y= 9-x2.由题意,知直线在半圆的上 方,由 b-a=2,可知 b=3,a=1,所以直线 y=k(x+2)- 2过点(1,2 2),则 k= 2. (2)作出 y=|x-2a|和 y=12x+a-1 的简图,依题意知应有 2a≤2-2a,故 a≤12. 答案 (1) 2 (2)???-∞,12??? 探究提高 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图 象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函 数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来 解决问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答. [微题型3] 利用数形结合思想求最值 【例2-3】 (1)已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA、 PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C 是圆心,则四边形PACB面积的最小值为________. (2)(2015·全国Ⅰ卷)已知 F 是双曲线 C:x2-y82=1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6),当△APF 周长最小时,该三 角形的面积为________. 解析 (1)从运动的观点看问题,当动点 P 沿直线 3x +4y+8=0 向左上方或右下方无穷远处运动时,直 角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC=12|PA|·|AC|=12|PA|越来 越大,从而 S 四边形 PACB 也越来越大;当点 P 从左上、 右下两个方向向中间运动时,S 四边形 PACB 变小,显然, 当点 P 到达一个最特殊的位置,即 CP 垂直直线 l 时,S 四边形 PACB 应有唯一的最小值, 此时|PC|=|3×1+324+×412+8|=3, 从而|PA|= |PC|2-|AC|2=2 2. 所以(S 四边形 PACB)min=2×12×|PA|×|AC|=2 2. (2)设双曲线的左焦点为F1,连接PF1,根据双曲线的定义可 知|PF|=2+|PF1|,则△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2 +|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2,由于|AF|+2是定值, 要使△APF 的周长最小,则|PA|+|PF1|最小,即 P,A, F1 三点共线,如图所示.由于 A(0,6 6),F1(-3,0), 直线 AF1 的方程为:-x3+6 y 6=1,即 x=2 y 6-3, 代入双曲线方程整理可得 y2+6 6y-96=0,解得 y= 2 6或 y=-8 6(舍去),所以点 P 的纵坐标为 2 6.所 以 S△APF = S△AFF1 - S△PFF1 = 1 2 ×6×6 6 - 1 2 ×6×2 6=12 6. 答案 (1)2 2 (2)12 6 探究提高 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形, 注意数形结合的相互渗透,并从相关的图形中挖掘对应的 信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有 两种,一种是通过数形结合建立相应的关系式,另一种是 通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论. 1.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量 之间的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就 需要使用函数思想. 2.借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解(证)不 等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题,二是在问 题的研究中,可以通过建立函数关系式或构造中间函数来 求解. 3.许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参 变量中必有一个处于突出的主导地位,把这个参变量称为 主元,构造出关于主元的方程,主元思想有利于回避多元 的困扰,解方程的实质就是分离参变量. 4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面 区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助 数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可 以通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的. 5.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要 对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的. 6.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不 需要精确图象. 编后语 ? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。 ? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。 ? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。 ? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网 ? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。 ? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网 ? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。 2019/7/12 最新中小学教学课件 37 谢谢欣赏! 2019/7/12 最新中小学教学课件 38
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可问春风

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