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2019年江苏卷数学高考真题_高考_高中教育_教育专区

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2019年江苏卷数学高考真题_高考_高中教育_教育专区。2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。


2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟。 考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。 2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置。 3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式: ? ? ? ? 样本数据 x1, x2,…, xn 的方差 s2 ? 1 n n i ?1 xi ? x 2 ,其中 x ? 1 n n xi . i ?1 柱体的体积V ? Sh ,其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高. 锥体的体积V ? 1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答.题.卡.相.应.位.置.上.. 1.已知集合 A ? {?1, 0,1, 6}, B ? {x | x ? 0, x ? R},则 A B ? ▲ . 2.已知复数 (a ? 2i)(1? i) 的实部为 0,其中 i 为虚数单位,则实数 a 的值是 ▲ . 3.下图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 ▲ . 4.函数 y ? 7 ? 6x ? x2 的定义域是 ▲ . 5.已知一组数据 6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 ▲ . 6.从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的 概率是 ▲ . 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x2 ? y2 b2 ? 1(b ? 0) 经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲. 8.已知数列{an}(n ? N*) 是等差数列, Sn 是其前 n 项和.若 a2a5 ? a8 ? 0, S9 ? 27 ,则 S8 的值是 ▲ . 9.如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积是 120,E 为 CC1 的中点,则三棱锥 E-BCD 的体积是 ▲ . 10.在平面直角坐标系 xOy 中,P 是曲线 y ? x ? 4 (x ? 0) 上的一个动点,则点 P 到直线 x+y=0 的距离的 x 最小值是 ▲ . 11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在曲线 y=lnx 上,且该曲线在点 A 处的切线经过点(-e,-1)(e 为自然 对数的底数),则点 A 的坐标是 ▲ . 12.如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E 在边 AB 上,BE=2EA,AD 与 CE 交于点 O .若 AB ? AC ? 6AO ? EC , 则 AB 的值是 ▲ . AC 13.已知 tan ? tan ? ?? ? ? π 4 ? ?? ? ? 2 3 ,则 sin ? ?? 2? ? π 4 ? ?? 的值是 ▲ . 14.设 f (x), g(x) 是定义在 R 上的两个周期函数, f (x) 的周期为 4, g(x) 的周期为 2,且 f (x) 是奇函数. ?k(x ? 2), 0 ? x ? 1 当 x ? (0, 2]时, f (x) ? 1? (x ?1)2 , g(x) ? ? ???? 1 ,1 ? 2 x ? 2 ,其中 k>0.若在区间(0,9]上,关 于 x 的方程 f (x) ? g(x) 有 8 个不同的实数根,则 k 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内作答,解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 a=3c,b= 2 ,cosB= 2 ,求 c 的值; 3 (2)若 sin A ? cos B ,求 sin(B ? ?) 的值. a 2b 2 16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 BC,AC 的中点,AB=BC. 求证:(1)A1B1∥平面 DEC1; (2)BE⊥C1E. 17.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1(–1、0), F2(1,0).过 F2 作 x 轴的垂线 l,在 x 轴的上方,l 与圆 F2: (x ?1)2 ? y2 ? 4a2 交于点 A,与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B,连结 BF2 交椭圆 C 于点 E,连结 DF1. 已知 DF1= 5 2 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求点 E 的坐标. 18.(本小题满分 16 分) 如图,一个湖的边界是圆心为 O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路 l,湖上有桥 AB(AB 是圆 O 的直径).规 划在公路 l 上选两个点 P、Q,并修建两段直线型道路 PB、QA.规划要求:线段 PB、QA 上的所有点 到点 O 的距离均不.小.于.圆.O 的半径.已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD(C、D 为垂足), 测得 AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米). (1)若道路 PB 与桥 AB 垂直,求道路 PB 的长; (2)在规划要求下,P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处?并说明理由; (3)在规划要求下,若道路 PB 和 QA 的长度均为 d(单位:百米).求当 d 最小时,P、Q 两点间的距 离. 19.(本小题满分 16 分) 设函数 f (x) ? (x ? a)(x ? b)(x ? c), a,b,c ? R 、 f '(x) 为 f(x)的导函数. (1)若 a=b=c,f(4)=8,求 a 的值; (2)若 a≠b,b=c,且 f(x)和 f '(x) 的零点均在集合{ ? 3,1,3} 中,求 f(x)的极小值; (3)若 a ? 0,0 ? b? 1, c ?1 ,且 f(x)的极大值为 M,求证:M≤ 4 . 27 20.(本小满分 16 分) 定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M-数列”. (1)已知等比数列{an} (n ? N* ) 满足:a2a4 ? a5, a3 ? 4a2 ? 4a4 ? 0 ,求证:数列{an}为“M-数列”; (2)已知数列{bn} (n ? N* ) 满足: b1 ? 1, 1 Sn ? 2 bn ?2 bn?1 ,其中 Sn 为数列{bn}的前 n 项和. ①求数列{bn}的通项公式; ②设 m 为正整数,若存在“M-数列”{cn} (n ? N* ) ,对任意正整数 k,当 k≤m 时,都有 ck剟bk ck?1 成立,求 m 的最大值. 2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ·参考答案 一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分. 1.{1,6} 2.2 3.5 4.[ ?1,7] 5 7 5. 6. 3 10 7. y ? ? 2x 8.16 9.10 10.4 11. (e, 1) 12. 3 2 13. 10 14. ? ? ? 1 3 , 2? 4 ??? 二、解答题 15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力. 满分14分. 解:(1)因为 a ? 3c,b ? 2, cos B ? 2 , 3 由余弦定理 cos B ? a2 ? c2 ? b2 ,得 2 ? (3c)2 ? c2 ? ( 2)2 ,即 c2 ? 1 . 2ac 3 2? 3c ? c 3 所以 c ? 3 . 3 (2)因为 sin A ? cos B , a 2b 由正弦定理 a ? b ,得 cos B ? sin B ,所以 cos B ? 2sin B . sin A sin B 2b b ? ? 从而 cos2 B ? (2sin B)2 ,即 cos2 B ? 4 1? cos2 B ,故 cos2 B ? 4 . 5 因为 sin B ? 0,所以 cos B ? 2sin B ? 0,从而 cos B ? 2 5 . 5 因此 sin ? ?? B ? π 2 ? ?? ? cos B ? 2 5 5 . 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推 理论证能力.满分 14 分. 证明:(1)因为 D,E 分别为 BC,AC 的中点, 所以 ED∥AB. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB∥A1B1, 所以 A1B1∥ED. 又因为 ED?平面 DEC1,A1B1 ? 平面 DEC1, 所以 A1B1∥平面 DEC1. (2)因为 AB=BC,E 为 AC 的中点,所以 BE⊥AC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱,所以 CC1⊥平面 ABC. 又因为 BE?平面 ABC,所以 CC1⊥BE. 因为 C1C?平面 A1ACC1,AC?平面 A1ACC1,C1C∩AC=C, 所以 BE⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E?平面 A1ACC1,所以 BE⊥C1E. 17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础 知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14 分. 解:(1)设椭圆 C 的焦距为 2c. 因为 F1(-1,0),F2(1,0),所以 F1F2=2,c=1. 又因为 DF1= 5 2 ,AF2⊥x 轴,所以 DF2= DF12 ? F1F22 ? (5)2 ? 22 ? 3 , 2 2 因此 2a=DF1+DF2=4,从而 a=2. 由 b2=a2-c2,得 b2=3. 因此,椭圆 C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1. 43 (2)解法一: 由(1)知,椭圆 C: x2 ? y2 ? 1,a=2, 43 因为 AF2⊥x 轴,所以点 A 的横坐标为 1. 将 x=1 代入圆 F2 的方程(x-1) 2+y2=16,解得 y=±4. 因为点 A 在 x 轴上方,所以 A(1,4). 又 F1(-1,0),所以直线 AF1:y=2x+2. ?y ? 2x ? 2 由 ??(x ?1)2 ? y2 ? 16 ,得 5x2 ? 6x ?11 ? 0 , 解得 x ?1或 x ? ?11 . 5 将 x ? ?11 代入 y ? 2x ? 2 ,得 y ? ? 12 , 5 5 因此 B(? 11 , 5 ? 12) 5 .又 F2(1,0),所以直线 BF2: y ? 3 4 (x ?1) . 由 ? ?? ? ? ?? y ? 3 (x 4 x2 ? y2 43 ? 1) ?1 ,得 7x2 ? 6x ?13 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 13 7 . 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点,所以 x ? ?1 . 将 x ? ?1 代入 y ? 3 (x ?1) ,得 y ? ? 3 .因此 E(?1, ? 3) . 4 2 2 解法二: 由(1)知,椭圆 C: x2 ? y2 ? 1.如图,连结 EF1. 43 因为 BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以 EF1=EB, 从而∠BF1E=∠B. 因为 F2A=F2B,所以∠A=∠B, 所以∠A=∠BF1E,从而 EF1∥F2A. 因为 AF2⊥x 轴,所以 EF1⊥x 轴. ?x ? ?1 因为 F1(-1,0),由 ? ? x2 ?? 4 ? y2 3 ,得 ?1 y ? ? 3 2 . 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点,所以 y ? ? 3 . 2 因此 E(?1, ? 3) . 2 18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学 知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解:解法一: (1)过A作 AE ? BD ,垂足为E. 由已知条件得,四边形ACDE为矩形, DE ? BE ? AC ? 6, AE ? CD ? 8 .' 因为PB⊥AB, 所以 cos ?PBD ? sin ?ABE ? 8 ? 4 . 10 5 所以 PB ? BD ? 12 ? 15 . cos ?PBD 4 5 因此道路PB的长为15(百米). (2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径, 所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处,连结AD,由(1)知 AD ? AE2 ? ED2 ? 10 , 从而 cos ?BAD ? AD2 ? AB2 ? BD2 ? 7 ? 0 ,所以∠BAD为锐角. 2AD ? AB 25 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此,Q选在D处也不满足规划要求. 综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半 径,点P符合规划要求. 设 P1 为l上一点,且 P1B ? AB ,由(1)知, P1 B=15, 此时 P1D ? P1B sin ?P1BD ? P1B cos ?EBA ? 15? 3 5 ? 9 ; 当∠OBP>90°时,在△PP1B 中, PB ? P1B ? 15 . 由上可知,d≥15. 再讨论点Q的位置. 由 ( 2 ) 知 , 要 使 得 QA≥15 , 点 Q 只 有 位 于 点 C 的 右 侧 , 才 能 符 合 规 划 要 求 . 当 QA=15 时 , C Q? Q A2 ? A C2 ? 1 5 2 ?6 2 ?3 2.1此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综 上 , 当 PB ⊥ AB , 点 Q 位 于 点 C 右 侧 , 且 CQ= 3 21 时 , d 最 小 , 此 时 P , Q 两 点 间 的 距 离 PQ=PD+CD+CQ=17+ 3 21 . 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+ 3 21 (百米). 解法二: (1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H. 以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系. 因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,?3. 因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A(4,3),B(?4,?3),直线AB的斜率为 3 . 4 因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为 ? 4 , 3 直线PB的方程为 y ? ? 4 x ? 25 . 33 所以P(?13,9), PB ? (?13 ? 4)2 ? (9 ? 3)2 ? 15. 因此道路PB的长为15(百米). (2)①若P在D处,取线段BD上一点E(?4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处,连结AD,由(1)知D(?4,9),又A(4,3), 所以线段AD: y ? ? 3 x ? 6(?4剟x 4) . 4 在线段AD上取点M(3, 15 ),因为 OM ? 4 32 ? ? ?? 15 4 ?2 ?? ? 32 ? 42 ? 5 , 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的 半径,点P符合规划要求. 设 P1 为l上一点,且 P1B ? AB ,由(1)知, P1 B=15,此时 P1 (?13,9); 当∠OBP>90°时,在△PP1B 中, PB ? P1B ? 15 . 由上可知,d≥15. 再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9), 由 AQ ? (a ? 4)2 ? (9 ? 3)2 ? 15(a ? 4) ,得a= 4 ? 3 21 ,所以Q( 4 ? 3 21 ,9),此时,线段QA 上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上,当P(?13,9),Q( 4 ? 3 21 ,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离 PQ ? 4 ? 3 21 ? (?13) ? 17 ? 3 21 . 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17 ? 3 21 (百米). 19.本小题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理 能力.满分16分. 解:(1)因为 a ? b ? c ,所以 f (x) ? (x ? a)(x ? b)(x ? c) ? (x ? a)3 . 因为 f (4) ? 8 ,所以 (4 ? a)3 ? 8 ,解得 a ? 2 . (2)因为 b ? c , 所以 f (x) ? (x ? a)(x ? b)2 ? x3 ? (a ? 2b)x2 ? b(2a ? b)x ? ab2 , 从而 f '(x) ? 3( x ? b) ? ?? x ? 2a ? b 3 ? ?? .令 f '(x) ? 0 ,得 x ? b或 x ? 2a ? 3 b . 因为 a,b, 2a ? b ,都在集合{?3,1,3} 中,且 a ? b , 3 所以 2a ? b ? 1, a ? 3,b ? ?3 . 3 此时 f (x) ? (x ? 3)(x ? 3)2 , f '(x) ? 3(x ? 3)(x ?1) . 令 f '(x) ? 0 ,得 x ? ?3 或 x ?1.列表如下: x (??, ?3) ?3 (?3,1) 1 (1, ??) f '(x) + 0 – 0 + f (x) 极大值 极小值 所以 f (x) 的极小值为 f (1) ? (1? 3)(1? 3)2 ? ?32 . (3)因为 a ? 0, c ? 1,所以 f (x) ? x(x ? b)(x ?1) ? x3 ? (b ?1)x2 ? bx , f '(x) ? 3x2 ? 2(b ?1)x ? b . 因为 0 ? b ?1,所以 ? ? 4(b ?1)2 ?12b ? (2b ?1)2 ? 3 ? 0 , 则 f '(x) 有2个不同的零点,设为 x1, x2 ? x1 ? x2 ? . 由 f '(x) ? 0 ,得 x1 ? b ?1? b2 ? b ?1 b ?1? 3 , x2 ? b2 ? b ?1 . 3 列表如下: x (??, x1) x1 ? x1, x2 ? x2 f '(x) + 0 – 0 (x2, ??) + f (x) 极大值 极小值 所以 f (x) 的极大值 M ? f ? x1 ? . 解法一: M ? f ? x1 ? ? x13 ? (b ?1)x12 ? bx1 ? ? ? [3x12 ? 2(b ?1)x1 ? b]??? x1 3 ? b ?1? 9 ?? ? 2 b2 ? b ?1 9 x1 ? b(b ? 9 1) ? ? ? ? ?2 b2 ? b ?1 (b ?1) b(b ?1) 2 ? ? ? 3 b2 ? b ?1 27 9 27 ? b(b ?1) ? 2(b ?1)2 (b ?1) ? 2 ( b(b ?1) ?1)3 27 27 27 ? b(b ?1) ? 2 ? 4 .因此 M ? 4 . 27 27 27 27 解法二: 因为 0 ? b ?1,所以 x1 ? (0,1) . 当 x ?(0,1) 时, f (x) ? x(x ? b)(x ?1) ? x(x ?1)2 . 令 g(x) ? x(x ?1)2 , x ? (0,1) ,则 g' ( x) ? 3??? x ? 1 3 ? ?? (x ?1) . 令 g'(x) ? 0 ,得 x ? 1 .列表如下: 3 x (0, 1) 1 3 3 g' ( x) + 0 (1 ,1) 3 – g(x) 极大值 所以当 x ? 1 时, g(x) 取得极大值,且是最大值,故 3 g (x)max ? g ? ?? 1 3 ? ?? ? 4 27 . 所以当 x ?(0,1) 时, f (x) ? g(x) ? 4 ,因此 M ? 4 . 27 27 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综 合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分. 解:(1)设等比数列{an}的公比为q,所以a1≠0,q≠0. 由 ???aa32 a4 ? ? a5 4a2 ? 4a1 ? 0 ,得 ???aa112qq24 ? a1q4 ? 4a1q ? 4a1 ? 0 ,解得 ???aq1??21 . 因此数列{an} 为“M—数列”. 1 (2)①因为 Sn ? 2 bn ?2 bn ?1 ,所以 bn ?0. 由 b1 ? 1, S1 ? 1 b1 ,得 1 ? 2 1 ? 2 b2 ,则 b2 ? 2 . 1 由 Sn ? 2 bn ?2 bn?1 ,得 Sn ? bnbn?1 2(bn?1 ? bn ) , ? ? ? ? 当 n ? 2 时,由 bn ? Sn ? Sn?1 ,得 bn ? 2 bnbn?1 bn?1 ? bn ? bn?1bn 2 bn ? bn?1 , 整理得 bn?1 ? bn?1 ? 2bn . 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. ? ? 因此,数列{bn}的通项公式为bn=n n ? N* . ②由①知,bk=k, k ? N* . 因为数列{cn}为“M–数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0. 因为ck≤bk≤ck+1,所以 qk?1 ? k ? qk ,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q≥1; 当k=2,3,…,m时,有 ln k ? ln q ? ln k . k k ?1 设f(x)= ln x x (x ? 1) ,则 f '(x) ? 1? ln x2 x . 令 f '(x) ? 0 ,得x=e.列表如下: x (1, e) e f '(x) + f(x) 0 极大值 因为 ln 2 2 ? ln 8 6 ? ln 9 6 ? ln 3 ,所以 3 f (k )max ? f (3) ? ln 3 . 3 取 q ? 3 3 ,当k=1,2,3,4,5时, ln k ? ln q ,即 k ? qk , k (e,+∞) – 经检验知 qk?1 ? k 也成立. 因此所求m的最大值不小于5. 若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216, 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上,所求m的最大值为5. 数学Ⅱ(附加题) 21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请.选.定.其.中.两.小.题.,.并.在.相.应.的.答.题.区.域.内.作.答..若多做,则 按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?3 ??2 1? 2?? (1)求A2; (2)求矩阵A的特征值. B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标系中,已知两点 A ? ?? 3, ? 4 ? ?? , B ? ?? 2, ? 2 ? ?? ,直线l的方程为 ? sin ???? ? ? 4 ? ?? ? 3 . (1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离. C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 设 x?R ,解不等式|x|+|2 x ?1|>2 . 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)设 (1? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? an xn , n…4, n ? N* .已知 a32 ? 2a2a4 . (1)求n的值;(2)设 (1? 3)n ? a ? b 3 ,其中 a,b ? N* ,求 a2 ? 3b2 的值. 23. ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 点 集 An ? { ( 0 , 0 ) , ( 1, 0 ) , ? ( 2 , n0 ) , ,, ( , 0 ) } Bn ? ?(0,1),(n,1)},Cn ?{(0, 2),(1, 2),(2, 2), ,(n, 2)}, n?N?. 令 M n ? An Bn Cn .从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离. (1)当n=1时,求X的概率分布; (2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示). 数学Ⅱ(附加题)参考答案 21.【选做题】 A.[选修4–2:矩阵与变换] 本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分. ?3 1 ? 解:(1)因为 A ? ??2 2?? , 所以 A2 ? ?3 ??2 1 ? ?3 2?? ??2 1? 2?? ?3?3 ?1? 2 = ??2?3 ? 2? 2 3?1?1? 2 ? ?11 2?1? 2? 2?? = ??10 5? 6?? . (2)矩阵A的特征多项式为 ? ?3 f (?) ? ?1 ? ?2 ? 5? ? 4 . ?2 ? ? 2 令 f (?) ? 0 ,解得A的特征值 ?1 ? 1, ?2 ? 4 . B.[选修4–4:坐标系与参数方程] 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分. 解:(1)设极点为O.在△OAB中,A(3, ? ),B( 4 2 , ? 2 ), 由余弦定理,得AB= 32 ? ( 2)2 ? 2 ? 3? 2 ? cos( ? ? ?) ? 5 . 24 (2)因为直线l的方程为 ? sin(? ? ?) ? 3 , 4 则直线l过点 (3 2, ?) ,倾斜角为 3? . 2 4 又 B( 2, ?) ,所以点B到直线l的距离为 (3 2 ? 2) ?sin(3? ? ?) ? 2 . 2 42 C.[选修4–5:不等式选讲] 本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分. 解:当x<0时,原不等式可化为 ?x ?1? 2x ? 2 ,解得x<- 1 ; 3 当0≤x≤ 1 时,原不等式可化为x+1–2x>2,即x<–1,无解; 2 当x> 1 时,原不等式可化为x+2x–1>2,解得x>1. 2 综上,原不等式的解集为{x | x ? ? 1 或x ? 1} . 3 22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力,满分 10分. 解:(1)因为 (1? x)n ? C0n ? C1n x ? Cn2 x2 ? ? Cnn xn ,n ? 4 , 所以 a2 ? C2n ? n(n ?1) 2 , a3 ? C3n ? n(n ?1)(n 6 ? 2) , a4 ? C4n ? n(n ?1)(n ? 2)(n 24 ? 3) . 因为 a32 ? 2a2a4 , 所以[n(n ?1)(n ? 2)]2 ? 2? n(n ?1) ? n(n ?1)(n ? 2)(n ? 3) , 6 2 24 解得 n ? 5 . (2)由(1)知, n ? 5 . (1? 3)n ? (1? 3)5 ? C50 ? C15 3 ? C52( 3)2 ? C35( 3)3 ? C54( 3)4 ? C55( 3)5 ?a?b 3. 解法一: 因为 a, b ? N* ,所以 a ? C50 ? 3C52 ? 9C54 ? 76, b ? C15 ? 3C35 ? 9C55 ? 44 , 从而 a2 ? 3b2 ? 762 ? 3? 442 ? ?32 . 解法二: (1? 3)5 ? C50 ? C15(? 3) ? C52(? 3)2 ? C35(? 3)3 ? C54(? 3)4 ? C55(? 3)5 ? C50 ? C15 3 ? C52 ( 3)2 ? C35( 3)3 ? C54( 3)4 ? C55( 3)5 . 因为 a, b ? N* ,所以 (1? 3)5 ? a ? b 3 . 因此 a2 ? 3b2 ? (a ? b 3)(a ? b 3) ? (1? 3)5 ? (1? 3)5 ? (?2)5 ? ?32 . 23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维 能力和推理论证能力.满分10分. 解:(1)当 n ?1时, X 的所有可能取值是1, 2 ,2 , 5 . X 的概率分布为 P( X ? 1) ? 7 C62 ? 7 , P(X 15 ? 2) ? 4 C62 ? 4, 15 P( X ? 2) ? 2 C62 ? 2 , P(X 15 ? 5) ? 2 C62 ?2 15 . (2)设 A(a ,b) 和 B(c ,d ) 是从 Mn 中取出的两个点. 因为 P(X ? n) ? 1? P(X ? n) ,所以仅需考虑 X ? n 的情况. ①若 b ? d ,则 AB ? n ,不存在 X ? n 的取法; ② 若 b ? 0,d ? 1 , 则 AB ? (a ? c)2 ?1 ? n2 ?1 , 所 以 X ? n 当 且 仅 当 AB ? n2 ?1 , 此 时 a ? 0,c ? n 或 a ? n ,c ? 0 ,有 2 种取法; ③若 b ? 0,d ? 2 ,则 AB ? (a ? c)2 ? 4 ? n2 ? 4 ,因为当 n ? 3 时, (n ?1)2 ? 4 ? n ,所以 X ? n 当且仅当 AB ? n2 ? 4 ,此时 a ? 0,c ? n 或 a ? n ,c ? 0 ,有 2 种取法; ④ 若 b ? 1,d ? 2 , 则 AB ? (a ? c)2 ?1 ? n2 ?1 , 所 以 X ? n 当 且 仅 当 AB ? n2 ?1 , 此 时 a ? 0,c ? n 或 a ? n ,c ? 0 ,有 2 种取法. 综上,当 X ? n 时, X 的所有可能取值是 n2 ?1 和 n2 ? 4 ,且 P(X ? n2 ? 1) ? 4 C2 2n?4 , P(X ? n2 ? 4) ? 2 C2 2n?4 . 因此, P( X ? n) ? 1? P( X ? n2 ?1) ? P( X ? n2 ? 4) ?1? 6 C2 2n?4 .
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