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2017年高考真题——数学(理)(北京卷)+Word版含解析(参考版)_高考_高中教育_教育专区

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学科知识供应商 绝密★本科目考试启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷) 本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。学科&网考生务必将答案答在答题卡上,在 试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 (1)若集合 A={x|–2 (A){x|–2 (C){x|–1 【答案】A 【解析】 A x x x –1} 1} 1},B={x|x –1 或 x 3},则 A B= x x 3} 3} (B){x|–2 (D){x|1 B ? ? x ?2 ? x ? ?1? ,故选 A. (2)若复数(1–i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是 (A)(–∞,1) (C)(1,+∞) 【答案】B (B)(–∞,–1) (D)(–1,+∞) i ? 1? ? a? 【 解 析 】 z ? ?1 ? i?? a ? ? i 因为对应的点在第二象限,所以 ??1 ??a , ?a ? 1 ? 0 ,解得: a ? ?1 ,故选 B. ? ?1 ? a ? 0 (3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 -1- 学科知识供应商 (A)2 【答案】C (B) 3 2 (C) 5 3 (D) 8 5 1?1 ? 2 ,1 ? 3 成立,第二次进 1 3 ?1 5 2 ?1 3 2 ? ,3 ? 3 否, ? ,2 ? 3 成立, 入循环,k ? 2, s ? 第三次进入循环 k ? 3, s ? 3 3 2 2 2 5 输出 s ? ,故选 C. 3 【解析】 k ? 0 时, 0 ? 3 成立,第一次进入循环 k ? 1, s ? ? x ? 3, ? (4)若 x,y 满足 ? x ? y ? 2,则 x + 2y 的最大值为 ? y ? x, ? (A)1 (C)5 【答案】D 【解析】如图,画出可行域, (B)3 (D)9 -2- 学科知识供应商 z ? x ? 2y 表示斜率为 ? 1 的 一 组 平 行 线 , 当 过 点 C ? 3,3? 时 , 目 标 函 数 取 得 最 大 值 2 zmax ? 3 ? 2 ? 3 ? 9 ,故选 D. x x (5)已知函数 f ( x) ? 3 ? ( ) ,则 f ( x) 1 3 (A)是奇函数,且在 R 上是增函数 (C)是奇函数,且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】 f ? ? x ? ? 3? x ? ? ? x (B)是偶函数,且在 R 上是增函数 (D)是偶函数,且在 R 上是减函数 ?1? ? 3? ?x ?1? ? ? ? ? 3x ? ? f ? x ? ,所以函数是奇函数,并且 3x 是增函数, ? 3? x ? 1 ? 是减函数,根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数,故选 A. ? ? ?3? (6)设 m,n 为非零向量,则“存在负数 ? ,使得 m ? ? n ”是“ m ? n < 0 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A 【 解 析 】 若 ?? ? 0 , 使 m ? ? n , 即 两 向 量 反 向 , 夹 角 是 1800 , 那 么 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 m ? n ? m cno s 10 8 ? 0 ? m n? 0 过 来 , 若 m? n ? 0 , 那 么 两 向 量 的 夹 角 为 ,反 ? 90 ,180 ? ? 0 0 ,KS5U 并不一定反向,即不一定存在负数 ? ,使得 m ? ? n ,所以是充分不必 要条件,故选 A. -3- 学科知识供应商 (7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 (A)3 2 【答案】B (B)2 3 (C)2 2 (D)2 【解析】几何体是四棱锥,如图 红色线为三视图还原后的几何体,最长的棱长为正方体的对角线, l ? 22 ? 22 ? 22 ? 2 3 ,故选 B. (8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3 ,而可观测宇宙中普通物质的原 80 子总数 N 约为 10 .则下列各数中与 361 M N 最接近的是 (参考数据:lg3≈0.48) (A)10 (C)10 33 (B)10 53 93 73 (D)10 -4- 学科知识供应商 【答案】D 【 解 析 】 设 M 3361 ? x ? 80 N 10 , 两 边 取 对 数 , lg x ? lg 故选 D. M 3361 所以 x ? 1093.28 , 即 最接近 1093 , ? lg 3361 ? lg1080 ? 361? lg 3 ? 80 ? 93.28 , 80 N 10 第二部分(非选择题 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若双曲线 x 2 ? 【答案】2 【解析】 共 110 分) y2 ? 1 的离心率为 3 ,则实数 m=_________. m 1? m ? 3?m?2 1 a2 =_______. b2 (10)若等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足 a1=b1=–1,a4=b4=8,则 【答案】1 【解析】 ?1 ? 3d ? ?q3 ? 8 ? d ? 3, q ? ?2 ? a2 ?1 ? 3 ? ?1 b2 ?1? (?2) (11)在极坐标系中,点 A 在圆 ? 2 ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 上,点 P 的坐标为(1,0), 则|AP|的最小值为___________. 【答案】1 【 解 析 】 C: n 2 x ? 2 y ?2 ? x4 ? 1 ? y4 1 ?0 ?2 ( x 所 2 以) ? 1 ) 2? y, ( ? ? 1 |A P m |? i | A ?C | ? r ? 2 (12)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称.若 sin ? ? 1 , cos(? ? ? ) =___________. 3 -5- 学科知识供应商 【答案】 ? 【解析】 7 9 sin ? ? sin ? , cos ? ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1 ? ? 7 9 (13)能够说明“设 a,b,c 是任意实数.若 a>b>c,则 a+b>c”是假命题的一组整数 a,b, c 的值依次为______________________________. 【答案】-1,-2,-3 解析】 ?1 ? ?2 ? ?3, ?1 ? (?2) ? ?3 (14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai 的横、纵坐 标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数,点 Bi 的横、纵坐标分别 为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3. ①记 Q1 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数, 则 Q1, Q2, Q3 中最大的是_________. ②记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则 p1,p2,p3 中最大的是 _________. 【答案】 Q1 ; p2 . 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题 13 分) -6- 学科知识供应商 在△ABC 中, ?A =60°,c= (Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)若 a=7,求△ABC 的面积. 【答案】 3 a. 7 (1)根据正弦定理 a c C ×sinA 3 3 3 3 3 = ? sinC = = ? sin60。 = ? = sinA sinC a 7 7 2 14 (2)当 a = 7 时 c = 3 a = 3 7 sinC = 3 3 c<a 14 ? cosC ? △ABC 中 1 ? sin 2C ? 3 14 sinB = sin[π - ( A + C )] = sin( A + C ) = sinA ? cosC + cosA ? sinC = 3 3 1 3 3 ? + ? 2 14 2 14 3 3 14 = ? S△ABC = 1 1 3 9 ac ? sinB = ? 7 ? 3 ? 3= 3 2 2 14 4 (16)(本小题 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 PAD⊥平面 ABCD,点 M 在线 段 PB 上,PD//平面 MAC,PA=PD= 6 ,AB=4. (I)求证:M 为 PB 的中点; (II)求二面角 B-PD-A 的大小; -7- 学科知识供应商 (III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值. 【答案】 (1)连接 AC,BD. AC BD = O .连接 OM ∵PD∥平面 MAC 且平面 PBD 平面 MAC=MO ∴PD∥MO ∵O 为 BD 中点 ∴M 为 PB 中点 (2)取 AD 中点 E,连接 PE ∵PA=PD ∴PE⊥AD 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD 平面 ABCD=AD ∴PE⊥平面 ABCD 建立如图所示坐标系 则 B(-2,4,0) P(0,0, 2 ) D(2,0,0) A(-2,0,0) 易知平面 PDA 的法向量 m ? ? 0,1,0 ? 设平面 BPD 的法向量 n ? ? x0 , y0 , z0 ? ,则 -8- 学科知识供应商 ?n DP ? ? x , y , z ? ?2,0, 2 ? ?2 x ? 2 z ? 0 0 0 0 0 0 ? ? ?n DB ? ? x0 , y0 , z0 ? ? ?4,4,0 ? ? ?4 x0 ? 4 y0 ? 0 ? ∴ n= 1,1,2 ? ? ? ? = mn m n ? 1 1 12 ? 12 ? ? 1 2 ?? ? ∴二面角 B-PD-A 的平面角 ? cos? ? cos m, n ? 3 ? ? 2 2 (17)(本小题 13 分) 为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一 组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制成下图,其中“*”表示 服药者,“+”表示为服药者. -9- 学科知识供应商 (Ⅰ)从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率; (Ⅱ)从图中 A,B,C,D 四人中随机 KS5U.选出两人,记 ? 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数,求 ? 的分布列和数学期望 E( ? );学¥科网 (Ⅲ)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.(只 需写出结论) 分布列如下 ? p 0 1 2 1 6 2 3 1 6 1 2 1 E (?) =0 ? +1? +2 ? =1 ,即所求数学期望为 1. 6 3 6 (Ⅲ)由图知 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的方差大。 - 10 - 学科知识供应商 (18) (本小题 14 分) 已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点(0, 1 )作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两 2 点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A,B,其中 O 为原点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:A 为线段 BM 的中点. 【答案】 (Ⅰ)把 P(1,1)代入 y2=2Px 得 P= 1 1 1 2 ∴C:y =x∴焦点坐标( ,0)准线:x=- 。 2 4 4 (Ⅱ)设 l:y=kx+ y 1 ,A(x1,y1) ,B(x2,y2),OP:y=x,ON:y= 2 x ,由题知 A(x1,x1),B(x1, 2 x2 x1y2 ) x2 ? 1 1-k 1 1 ?y>kx+ 2 2 2 ? k x +(k-1)x+ =0,x1+x2= 2 ,x1·x2= 2 。 ? 4 4k k ?y2 =x ? 1 x ( kx1 + ) 1 x1y2 1 2 =2kx + x1 +x2 ,由 x1+x2= 1-k ,x1x2= 1 , y1 + ? kx1 + + 1 x2 2 x2 2x2 4k2 k2 1-k k2 上式 ? 2kx1 + =2kx1 +(1-k)? 2x1 =2x1 ∴A 为线段 BM 中点。 1 2x 2 4k x1 (19) (本小题 13 分) 已知函数 f(x)=excosx?x. (Ⅰ)求曲线 y= f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0, 【答案】 (Ⅰ)f(x)=ex· cosx-x∴f(0)=1 - 11 - π ]上的最大值和最小值. 2 学科知识供应商 ∴f? (x)=e (cosx-sinx)-1 f? (0)=0 ∴y=f(x)在(0,f(0))处切线过点(0,1) ,k=0 ∴切线方程为 y=1 (Ⅱ)f? (x)=ex(cosx-sinx)-1,设 f? (x)=g(x) ∴g? (x)=-2sinx· ex≤0 ∴g(x)在[0, x ? ]上单调递减, 2 ∴g(x)≤g(0)=0 ∴f’(x)≤0∴f(x)在[0, f(x)max=f(0)=1 ∴f(x)min=f( ? ]上单调递减, 2 ? ? )=- 2 2 (20)(本小题 13 分) 设 {an } 和 {bn } 是两个等差数列,记 cn ? max{b1 ? a1n, b2 ? a2 n, ???, bn ? an n} (n ? 1, 2,3, ???) , 其中 max{x1 , x2 , ???, xs } 表示 x1 , x2 , ???, xs 这 s 个数中最大的数. (Ⅰ)若 an ? n , bn ? 2n ? 1 ,求 c1 , c2 , c3 的值,并证明 {cn } 是等差数列; (Ⅱ) 证明: 或者对任意正数 M , 存在正整数 m , 当 n ? m 时, 使得 cm , cm?1 , cm? 2 , ??? 是等差数列. 【答案】 cn ?M ; 或者存在正整数 m , n c1 = max{b1 ? a1}= max{0}=0 -1}=-1 (Ⅰ)当 n ? 1 时, c2 = max{b1 -2a1,b2 ? 2a2 }= max{-1, c3 = max{b1 ? 3a1,b2 ? 3a2,b3 ? 3a3}= max{-2,, -3 -4}=-2 所以,对于 ?n ? N * 且 n ? 2 ,都有 cn ? b1 ? a1n ,只需比较 b1 ? a1n 与其他项的大小比较 当 k ? N * 且 1<k<n 时, (bk ? ak n) ? (b1 ? a1n) =( ? 2k-1)-nk? ? 1 ? n ? (1-k)n+2(k-1)= (k-1)(2-n) 因为 k-1>0,且 2-n<0, 所以 bk ? ak n ? b1 ? a1n - 12 - 学科知识供应商 所以 对于 ?n ? N * 且 n ? 2 cn ? b1 ? a1n =1-n 所以 cn ? cn -1 =-1 n ? 2 又 c2 ? c1 =-1 所以 {cn } 是以首项 c =0 d=-1 为公差的等差数列。 1 (Ⅱ) (1)设 {an } 、 {bn } 的公差为 d , d , 对于 b ? a n, b ? a n, ???, b ? a n 1 1 1 2 2 n 2 n 其中任意项 bi ? ai n ( i ? N * ,1<i<n) bi ? ai n= ? b1 ? (i? 1) d 2 ? ? ?a1 ? (i? 1) d1 ? n =(b1 ? a1n)( + i-1)(d2 -d1n) ①若 d2 ? 0,则 bi - ai n ? b1 ? a1 n 则对于给定的正整数 n, Cn = b1 ? a1 n 此时 Cn +1 -Cn =-a1 ,故数列 ?Cn ? 为等差数列 ②若 d2>0,则 ? bi ? ai n ? ? ?bn ? an n ? ? ?i ? n ? d2 ? 0 则对于给定正整数 n, Cn = bn ? an n=bn ? a1 n 此时 Cn +1 -Cn =d 2 -a1 ,∴数列 ?Cn ? 为等差数列 ? ? ? ? ? ?i ? 1? d 2 ? 0 (3)若 此时 为一个关于 n 的一次函数, - 13 - 学科知识供应商 故必存在 则当 n≥S 时, ,当 n≥S, 因此当 n≥S 时, 此时, 令 , , 下证: 对任意正数 M,存在 ,学%科%网当 n≥m 时 ① 取取 ([x]取不大于 x 的整数) n≥m 时, 成立 ②若 C<0,取 =A( )+B>A 当 n≥m 时, 成立 综上,对任意正整数 M 存在 命题得证. ,当 n≥m 时 - 14 - 学科知识供应商 - 15 -
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云师堂

世运之明晦,人才之盛衰,其表在政,其里在...

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